摘自《压力容器》 陆明万，寿比南，杨国义
引言
《压力容器》“压力容器应力分析设计方法的进展和评述”中曾介绍和评述了压力容器分析设计的弹性应力分析方法（又称应力分类法）的最新进展。本文将进一步介绍和评述压力容器分析设计的塑性分析方法，包括ASME的极限载荷分析方法、弹塑性应力分析方法和欧盟的直接方法等。
压力容器设计是一个创新意识非常活跃的工程领域，它紧跟着科学技术的发展而不断地更新设计方法。随着弹性理论、板壳理论和线性有限元分析方法的成熟，20世纪60年代，压力容器界提出了基于弹性应力分析和塑性失效准则的“弹性应力分析设计方法”。进入21世纪后，由于塑性理论和非线性有限元分析方法的日趋成熟，欧盟标准和ASME规范又先后推出了压力容器的塑性分析设计方法。其中涉及许多新的基本概念和新的分析方法，需要我们及时学习领会和消化吸收，以提高我们的分析设计水平，并结合国情进一步修订我国的压力容器设计规范。
ASME和欧盟的新规范都是以失效模式为主线来编排的。ASME考虑了以下4种模式：
（1）防止塑性垮塌。对应于欧盟的“总体塑性变形(GPD)”失效模式。
（2）防止局部失效。
（3）防止屈曲（失稳）垮塌。对应于欧盟的“失稳（I）”失效模式。
（4）防止循环加载失效。对应于欧盟的“疲劳（F）”和“渐增塑性变形（PD）”2种失效模式。
欧盟还考虑了“静力平衡（SE）”失效模式，即防止设备发生倾薄。
文中讨论的塑性分析设计方法主要应用于防止塑性垮塌和防止局部失效2种情况。
1、极限载荷分析法
在一次加载情况下，结构的失效是一个加载历史过程，即随着载荷的增加从纯弹性状态到局部塑性状态再到总体塑性流动的失效状态。对无硬化的理想塑性材料和小变形情况，结构进入总体塑性流动时的状态称为极限状态，相应的载荷称为极限载荷。此时，结构变成几何可变的垮塌机构，将发生不可限制的塑性变形，因而失去承载能力。
一般的弹塑性分析方法都要考虑上述复杂的加载历史过程，但极限载荷分析法（简称极限分析）则另辟蹊径，跳过加载历史，直接考虑在最终的极限状态下结构的平衡特性，由此求出结构的承载能力（即极限载荷）。它是塑性力学的一个重要分支。极限分析求得的极限载荷与对弹性-理想塑性材料结构进行弹塑性小变形分析的结果是完全一致的。
极限载荷分析法的基础是极限平衡理论。它由如下2个定理组成：
（1）下限定理：满足平衡方程和外力边界条件、且不违反屈服条件（“不违反屈服条件”的含义是：结构中的应力都在屈服面内或屈服面上，而不能在屈服面之外。以理想塑性材料受单向应力作用为例，应力可以小于或等于屈服限，但不能大于屈服限）的应力场称为“静力容许场”。与静力容许场相对应的载荷是极限载荷的下限解。
（2）上限定理：满足几何约束条件、且能形成几何可变的垮塌机构的位移（速度）场称为“机动容许场”。与机动容许场相对应的载荷是极限载荷的上限解。
用下限定理按静力容许场的平衡条件和屈服条件求极限载荷下限的方法称为极限分析的静力法；用上限定理按机动容许场的内力功等于外力功的条件求极限载荷上限的方法称为极限分析的机动法。
下限定理给出了结构不垮塌的必要条件，上限定理则给出了结构垮塌的充分条件。静力容许场和机动容许场都可以有许多种，所以用下限(上限）定理可以求得无穷多个极限载荷的下限(上限）近似值，其中越大（越小）越接近真实的极限载荷，极限载荷是下限（上限）近似值的最大（最小）者。如果分别用下限和上限定理求得的极限载荷近似值相等，则该值就是真实的极限载荷。
由于要事先预测复杂结构的机动容许场有一定的难度，上限定理在工程应用中受到一些限制； 又由于下限解是小于真实极限载荷、偏保守的近似解，所以ASME规范在极限载荷分析法中只要求计算极限载荷的下限。
基于上、下限定理人们已经找到许多简单结构的极限载荷解析解，读者可以查阅各种塑性力学的教科书。霍奇的专著是关于板壳结构极限分析基本理论和解析解的经典著作。
极限分析的数值解法主要有两类：一类是基于理想塑性材料和小变形假设用弹塑性有限元分析方法来计算极限载荷；另一类是基于下限定理用线性（或非线性）规划算法来计算极限载荷。目前后者尚未见公认的通用软件，主要用于科研领域。前者已是许多著名有限元软件的核心功能之一，并已积累了不少工程应用经验，所以ASME 规范选择了前者。下面对前者做进一步的介绍。
1.1 数值模型
用于极限载荷分析的有限元数值模型采用如下3个基本假设：
（1）采用弹性-理想塑性材料模型（弹性通常是线弹性）。
理想塑性材料是无冷作硬化的材料，进人塑性后应力始终保持为屈服限。它是有硬化的实际材料的一种偏保守的简化模型。“理想塑性”材料包括“弹性-理想塑性”和“刚性-理想塑性”(简称“刚塑性”）两种材料模型。用这两种模型得到的极限载荷是相同的。有限元分析常用前者，求解析解时常用后者。
ASME新版还规定理想塑性材料模型中的屈服限取为1. 5S，以控制那些屈服限较高的高强材料。这里S是材料在设计温度下的基本许用应力 (即以前版本中的Sm）。
（2）采用线性的应变-位移表达式。
（3）参照未变形结构形状建立平衡关系。
综合（2）和（3），称为“线性小变形（小位移）理论”。采用线性应变-位移关系、但参照已变形结构形状建立平衡关系的理论称为“大挠度理论”，一般用于板、壳等弹性薄壁结构。采用非线性应变-位移关系、且参照已变形结构形状建立平衡关系的理论称为“大变形（大位移）理论”。“大挠度理论”和“大变形理论”都属于“几何非线性理沦”。在欧盟标准中将“线性小变形理论”和“大挠度理论”分别称为“一阶理论”和“二阶理论”。
（4）采用冯?米赛斯（Von Mises）屈服准则和关联流动法则。
米赛斯屈服准则就是大家熟悉的第四强度理论，它对应于一个椭球形的屈服面。当应力达到屈服面时，材料发生塑性流动。塑性流动的方向可以用塑性应变增量的矢量方向来表示。德鲁克（Drucker，D.C.）根据塑性变形过程中塑性功非负的假设提出：塑性应变增量的矢量应与屈服面正交，称为“正交流动法则”。塑性力学中有2个函数：一个是屈服函数，其等值面就是屈服面；另一个是塑性势函数，塑性应变增量的矢量沿其等值面的外法线方向。于是，若令塑性势函数与屈服函数相等（相关联）就得到正交流动法则，所以德鲁克流动法则也称为“关联流动法则”。塑性势函数与屈服函数不相等的另一类法则称为“非关联流动法则”，此时塑性应变增量的矢量与屈服面不再正交。“关联流动法则”适用于大多数金属材料，而岩土和混凝土等材料则宜采用较复杂的“非关联流动法则”。
1.2载荷施加
（1）采用由零到最大值的、逐步递增的一次加载方式。
与极限载荷对应的是一次加载情况下的失效模式，所以弹塑性有限元计算的载荷增量必须恒正。虽然在进人塑性后为了使迭代收敛载荷增量需要逐步减小，但不能出现增量为负的卸载情况。
（2）当受多种载荷联合作用时，应采用比例加载方式。即各种载荷按相同的百分比同时由零增加到最大值。
ASME规范在表5.4中给出了极限载荷分析中应考虑的各种载荷组合情况，这些载荷组合都按比例加载方式施加。
1.3 评定准则
ASME - VIII - 2老版本对极限载荷的评定准则是：若结构的规定设计载荷不超过极限载荷的2/3，则设计是可行的。老版本中同时规定：根据试验或数值计算的结果绘制载荷-最大位移（或最大应变）曲线，然后用两倍弹性斜率法来确定极限载荷。这样确定的“极限载荷”实际上是真实极限载荷的一个保守程度较大的下限近似值。
极限载荷是结构开始发生无限制总体塑性流动时的载荷。在采用位移法有限元的弹塑性分析中，当极小的载荷增量也会导致计算不收敛时，就达到了极限载荷。ASME - VIII - 2新版本中定义：“极限载荷是导致总体结构不稳定的载荷。这表现为对小的载荷增量不能求得平衡解（即解将不收敛）”。与两倍弹性斜率法相比，这是对极限载荷更为准确的定义。需要指出的是，进入塑性后有限元计算中的载荷增量必须逐步减小，若载荷增量设置过大，会直接导致计算不收敛，称为“数值发散”。不能将数值发散误认为达到了极限载荷。为了避免数值发散，许多有限元软件都添加了弹塑性计算自动加载子程序。该子程序对进入塑性后的每个加载步都会先采用上一步的载荷增量（或乘以0.8至1.0的减缩系数）进行试算。若收敛，则继续加载；若发散，则自动将载荷增量减半后再重新计算。
这里介绍一种判断是否达到了极限载荷的数值处理方法：绘制载荷-最大位移（或最大应变）曲线。当该曲线已经算到趋于水平（该加载步的曲线斜率已小于弹性斜率的百分之一）的阶段，则达到了极限载荷。若该曲线在斜率较大时不能收敛，则属于数值发散，应该减小载荷增量再重新计算。
如上所述，精确计算和判定极限载荷的过程还比较复杂。为了避免先要精确计算极限载荷的麻烦，参照美国土木工程规范ASCE 7 - 05的做法，ASME - VIII - 2新版在评定时引进了“载荷与抗力系数设计（LRFD)”的概念。该方法将安全系数（考虑可能出现的各种不确定性的设计系数）乘到载荷上（详见该规范的表5.4)，然后用经过该系数放大后的载荷对结构加载，进行极限载荷分析。只要对表5.4中规定的所有载荷情况组合，当载荷达到表中规定值时计算都能收敛，就说明这些施加了安全系数的载荷都小于极限载荷，评定可以通过。若计算发散，先检查一下是否是数值发散，若否，则应修改设计方案。
在ASME新版中，除上述强度评定准则外还增加了一条由业主规定的“使用准则”，详细讨论见下文2.1节的弹塑性分析法。
1.4 适用范围
（1）极限载荷分析可用于替代ASME新版5. 2. 2节弹性应力分析法中一次应力极限的校核(即满足Pm≤S，PL≤1.5S和PL+Pb≤1.5S三个评定准则），但不能替代一次加二次应力极限的校核。因为极限载荷分析只做一次加载，而二次应力是要循环加载的。
（2）极限载荷分析可用于计算极限载荷的大小，但计算给出的位移或应变的大小是无意义的。因为极限载荷分析的基本假设和实际情况有一定差距，而且从理论上说，达到极限载荷后塑性流动不可限制，位移和应变都是不确定的。若业主在使用准则中要求对位移或应变加以限制，则应采用下节的弹塑性分析法。
（3）当出现较大面积、中面内的压应力区时，有可能在达到极限载荷前先出现屈曲垮塌。必须按ASME新版5. 4节对容器另做“防止屈曲垮塌”的评定。
在英文中“失稳”（instability，或译成“不稳定性”）是个含义较广的概念。弹性（或弹塑性）屈曲（buckling )、塑性垮塌（collapse，如单向拉伸试件的颈缩现象），还有丧失静力平衡（如倾覆)都会使结构丧失稳定性。在基于弹性分析的规则设计中人们往往对屈曲和失稳不加区分，习惯上把buckling也翻译成“失稳”，但考虑塑性分析后将buckling准确地翻译成“屈曲”是必要的。
（4）在极限载荷分析中不考虑由预先给定的非零位移场和由温度场导致的应变控制载荷效应。
（5）对于因变形而导致抗力下降（减弱）的部件应该采用ASME新版5.2.4节的弹塑性分析方法来进行评定。这类情况的例子有：按闭合模式变形的弯管（即弯管两端相对靠拢的变形情况）；承受横向力矩和轴向压力的壳体接管部分。
2、弹塑性分析法
在ASME新版5. 2. 4节的标题中称为“弹塑性应力分析”，但在论述中有时又称“弹塑性分析”。在力学中都采用“弹塑性分析”的术语，因为在进入塑性后“应力”不再是重要的特征量。表征结构强度的特征量是承载能力（极限载荷或 垮塌载荷）而非应力，表征结构状态的特征量是塑性应变而不再是应力。
2.1 防止塑性垮塌的弹塑性分析
对比弹塑性分析法和极限载荷分析法可以发现两者的思路和评定方法基本相同，都采用弹塑性有限元分析，也都引进了载荷与抗力系数设计概念。两者最根本的区别是采用了不同的数值模型。
弹塑性分析的有限元数值模型是：
（1）采用考虑材料硬化或软化行为的真实应力-应变曲线来建立材料的本构模型。典型材料的实际应力-应变曲线由ASME VIII - 2规范第3篇的附录3. D给出，它包括屈服、强化直到强度极限。
（2）采用非线性的应变-位移表达式。非线性应变-位移公式能精确表示大变形后（例如单向拉伸试件紧缩后）的真实应变。
（3）参照已变形的结构形状建立平衡关系。这样能精确描述变形引起的几何强化或弱化效应。综合（2）和（3），称为考虑几何非线性的大变形（位移)理论。
（4）采用冯?米赛斯（Von Mises）屈服准则和关联流动法则。这和极限载荷分析相同。
可以看出，弹塑性分析的数值模型比极限载荷分析更符合实际情况，所以弹塑性分析的计算结果比极限载荷分析更精确，尤其是对出现几何强化（即变形导致结构承载能力提高）或几何弱化（即变形导致结构承载能力降低）的情况。
在弹塑性分析中，导致总体结构不稳定的载荷称为“塑性垮塌载荷”。极限载荷是采用弹性-理想塑性材料和线性小变形理论假设时的塑性垮塌载荷。
用于弹塑性分析的载荷情况组合和设计系数列在ASME规范的表5. 5中。对比表5. 5和表5.4可以发现，弹塑性分析的设计系数都比极限载荷分析的大。这是因为在ASME新版的“载荷与抗力系数设计”中材料强度参数将直接采用屈服极限(1.5S)和强度极限(2.4S)，而不加任何安全系数。这些安全系数都被包含在载荷组合的设计系数中。规范制定者认为：极限载荷分析法求得的极限载荷相当于材料的屈服极限，而弹塑性分析法求得的塑性垮塌载荷已经反映了材料的实际强化效应和结构的几何强化效应，应相当于材料的强度极限（例如，若用弹塑性分析法计算内压薄壁筒，将求得爆破压力），所以用于弹塑性分析的载荷组合中的设计系数都是极限载荷分析的2.4/1.5 =1.6 倍。
除强度评定准则外，弹塑性分析也要求满足由业主规定的“使用准则”，目的是防止出现不满足使用性能要求的设备失效现象。例如，限制法兰的转角以防止泄露；限制塔器的挠度以防止内部或外部附件间出现错位失配而影响操作。使用准则大多是防止设备在满足强度准则的条件下可能出现过量变形的情况，属于“变形准则”或“刚度准则"。对一些有几何强化效应的结构部件较易出现这种情况，需要特别注意。例如，椭球封头和蝶形封头在内压作用下的变形是逐渐趋于承载能力更高的球形封头，所以在达到极限载荷以前有可能出现严重的过量变形。又如管道系统，应注意变形后管道与连接件之间的配合问题。
2.2 防止局部失效的弹塑性分析
防止局部失效的目的是限制在所加设计载荷下发生断裂的潜在可能性。这里所说的“断裂”不是断裂力学中研究的含裂纹部件的断裂问题，而是指当存在应力集中但不含裂纹时，压力容器部件在三轴应力状态下发生的拉伸断裂问题。含裂纹部件的断裂评定准则基于断裂韧度，而无裂纹部件的断裂评定准则基于如下的三轴应变极限。
ASME新规范对防止总体塑性垮塌的评定基于第四强度理论。在静水应力（即三向等拉σ1=σ2=σ3）情况下，无论应力有多大，米赛斯当量应力始终等于零，若按该准则评定压力容器部件将永远不会失效。所以必须补充新的考虑静水应力影响的局部失效评定方法。
描述三轴应力状态的参数是“三轴因子”Tr：
Tr = (σ1+σ2+σ3)/3σe (1)
它是平均正应力和米赛斯当量应力之比。对单向拉伸情况Tr = 1/3，对三向等拉情况Tr=∞。
三轴应变极限εL按下式计算：
这3个参数都列于规范的表5.7中。
防止局部失效的评定准则是：
其中，εcf是与制造方法有关的“成形应变”，可以根据材料及制造方法从规范第6篇中査到。如果已经按照第6篇的要求进行了热处理，则可假设εcf=0；εpeq是总当量塑性应变：
式（4）取p12，p23，p31为工程塑性剪应变，它是塑性剪应变分量的2倍。若取它们为塑性剪应变分量，则式中的系数1. 5应改为6（在弹性力学中工程剪应变用γij表示，剪应变分量用εij表示，γij=2εij）。
可以看出，式（2）对三向等拉（或等压）情况给出εL=0，所以按评定准则式（3），只允许存在弹性变形，出现任意小的塑性应变都会导致断裂。该式并不适用于三向等压（静水压）情况，因为理论上说无论静水压有多大，材料永远不会出现断裂。
对给定载荷序列的情况，可以采用应变极限累积损伤的方法来进行评定。该方法把加载路径分成k个载荷增量，对每个载荷增量步计算主应力σ1k，σ2k，σ3k，等效应力σe,k（规范中误打印为Δσe,k），和由上一载荷增量引起的等效塑性应变的变化Δεpeq?k。然后用下式计算第k个载荷增量下的应变极限εL,k：
其中εLu，m2和αsl由表5.7确定。每个载荷增量步的应变极限损伤为：
由制造引起的成形应变极限损伤为：
应变极限累积损伤按下式计算和评定：
若式（8）被满足，则在给定载荷序列下压力容器部件中该部位的设计是合格的。若部件中多个部位同时出现大的局部塑性变形，则应对每个部位逐一进行评定。若部件是按规范第4篇的标准细节设计的，则不再需要校核这里的局部应变极限准则。
最后指出，防止局部失效的弹塑性有限元分析数值模型与防止塑性垮塌的弹塑性分析数值模型相同，应该考虑几何非线性效应，应力集中区的网格需要合理地加密。
3、欧盟标准的直接方法
欧盟标准的直接法也应用弹塑性有限元分析，其数值模型是：
（1）采用线弹性-理想塑性本构模型；
（2）采用屈雷斯加屈服条件（最大剪应力条件）及关联流动法则。若采用米赛斯屈服条件来代替屈雷斯加屈服条件，则应将设计强度参数乘以系数√3/2；
（3）除变形导致几何弱化效应的情况需要考虑几何非线性效应外，一般都采用一阶（线性小变形)理论；
（4）按比例加载方式、从无应力初始状态开始一次加载到最大值。
除屈服条件不同外，这个模型和ASME的极限载荷分析模型相近，而不同于ASME的弹塑性分析模型，所以其计算结果应属于极限载荷的下限。但是与ASME不同，欧盟标准用如下“应变极限”来确定下限值：
式（9）中“结构应变”是指“在结构的无应力集中模型中的应变”。它包含了总体结构细节的效应，但不包含局部结构细节（如缺口、小圆角、焊趾等）的效应。与它对应的是等效线性化处理后得到的线性应力部分，包括一次加二次应力，但不包括峰值应力。“主结构应变”是指用6个结构应变分量算得的3个主应变。
该应变极限可用于防止总体塑性垮塌、处理过量局部变形和进行屈曲强度校核。由于应变极限（式（9））中只考虑结构应变，所以欧盟标准说的“处理过量局部变形”和ASME的“防止局部失效”并不是一回事。
欧盟标准中的术语“作用”和“载荷工况”分别相当于上述的“载荷”和“载荷组合”。根据作用的统计性质和持续时间（如持久的或可变的）将作用乘以不同的“分安全系数”再叠加在一起，组合成载荷工况。正常运行载荷工况中作用的分安全系数见欧盟标准的表B. 8. 1。与ASME不同，表B.8. 1中的分安全系数只是针对作用的，欧盟标准还在表B. 8. 2中给出了加在材料强度参数上的分安全系数。
欧盟标准的评定准则是：在不违反应变极限（式（9））的条件下，对所考虑的各载荷工况用本节规定的数值模型求得某个下限极限值。只要各载荷工况的设计值都不超过对应的下限极限值，评定就能通过。
在基于塑性分析的压力容器分析设计中，有两个评定部件安全性的重要特征量。一个是承载能力（极限载荷或塑性垮塌载荷），它是表征结构强度的特征量；另一个是塑性应变（由于弹性应变很小，也可以用总应变来替代），它是表征结构变形状态的特征量。ASME规范选择极限载荷和塑性垮塌载荷作为评定准则的主要基础，同时辅以控制过量变形的使用准则。欧盟标准则选择由总应变算出的主结构应变作评定准则的基础。相对而言，ASME规范较符合传统的强度设计规范 的思路。
4、结语
文中介绍和评述了压力容器分析设计的各种塑性分析方法。塑性分析方法相对于弹性应力分析方法而言，数值模型更反映实际情况，计算结果更为精确，相应的代价是要付出较大的计算工作量。
压力容器分析设计的塑性分析方法是一个崭新的领域。在学习领会的基础上，当务之急是积极开展工程应用的研究，掌握各种方法的精髓，通过对比分析对实际事例的应用结果，总结各种方法的优缺点和应用注意事项，为修订我国压力容器设计规范提供经验和数据。